Question

如圖，已知三棱錐的側(cè)棱、、兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)到面的距離；

（2）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法一是利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，具體做法是：先利用、、兩兩垂直以及它們的長度計算出三棱錐的體積，然后將此三棱錐轉(zhuǎn)換成以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以所在平面為底面的三棱錐通過體積來計算點(diǎn)到平面的距離；解法二是直接利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離；（2）解法一是通過三垂線法求二面角的正弦值，即在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接、，證明，，從而得到為二面角的平面角，再選擇合適的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空間向量法求二面角的余弦值，進(jìn)而求出它的正弦值.

試題解析：解法一：（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，

由于，，且，

平面，平面，平面，

平面，，

，為的中點(diǎn)，，

，平面，平面，平面，

平面，，

，且，，

為的中點(diǎn)，，

平面，平面，，，

，

而，，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法知，，

即，即，即點(diǎn)到平面的距離為；

（2）如下圖所示，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，

，，，

平面，平面，平面，即平面，

平面，，又，，

平面，平面，平面，

平面，，

，，

，，，

同理可知，故二面角的平面角為，

，

在中，，

在中，，，，

由正弦定理得，，

即二面角的正弦值為；

解法二：（空間向量法）由于、、兩兩垂直，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

（1）由上圖知，，，，，

設(shè)平面的一個法向量為，，

，

，

，

令，可得平面的一個法向量為，而，

，，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，

即點(diǎn)到平面的距離為；

（2）設(shè)平面的一個法向量為，，，

，

，

令，可得平面的一個法向量為，

，，，

設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，

且，，

即二面角的正弦值為.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)到平面的距離；2.二面角；3.空間向量法