Question

已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)g(x)=

1

4

f(x)+ax3+

9

2

x2-b(x∈R)，其中a，b∈R.
（i）若函數(shù)g（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（ii）對于任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）f（x）為冪函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故-m²+2m+3＞0，結(jié)合m∈Z，可解出m，再驗(yàn)證奇偶性即可．
（II）（i）函數(shù)g（x）僅在x=0處有極值，轉(zhuǎn)化為g'（x）根的問題，考慮△
（ii）g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，只要g（x）max≤2，由（i）可知g（x）在x=2或x=-2處取最大值，只要滿足

g(2)≤2 g(-2)≤2

即可，轉(zhuǎn)化為a和b的不等式，再考慮對于任意的a∈[-1，1]恒成立即可．

解答：解：（I）∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴-m²+2m+3＞0即m²-2m-3＜0∴-1＜m＜3，
又∵m∈Z，∴m=0，1，2
而m=0，2時，f（x）=x³不是偶函數(shù)，m=1時，f（x）=x⁴是偶函數(shù)．
∴f（x）=x⁴
（II）（i）g'（x）=x（x²+3ax+9），顯然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
為使g（x）僅在x=0處有極值，
必須x²+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a²-36≤0．解不等式，
得a∈[-2，2]．這時，g（0）=-b是唯一極值．∴a∈[-2，2]．
（ii）由條件a∈[-1，1]，可知△=9a²-36＜0，從而x²+3ax+9＞0恒成立．
當(dāng)x＜0時，g'（x）＜0；當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0．
因此函數(shù)g（x）在[-2，2]上的最大值是g（2）與g（-2）兩者中較大者．
為使對方任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)

g(2)≤2 g(-2)≤2

，即

b≥20+8a b≥20-8a

，在a∈[-1，1]上恒成立．
所以b≥28，因此滿足條件的b的取值范圍是[28，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求解析式、冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的極值問題、不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)．