Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為，斜率不為0的直線(xiàn)l與橢圓恒交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)M．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

【解析】

（1）由題可知，，再結(jié)合，即可求出的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)l斜率不為，所以設(shè)直線(xiàn)l：x＝ty+m，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，，再根據(jù)以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，可得0，從而求出，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）由題，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題設(shè)直線(xiàn)：，，

聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，得，

∴，，．

因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，

所以，

整理得或，

又當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)橢圓右定點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)不可能垂直，

∴，

∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．