Question

（本小題滿分12分）如圖，為正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求多面體的體積．．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）作的中點(diǎn)，只需證明即可；（Ⅱ）這個(gè)多面體可看做以A為頂點(diǎn)，BCED為底面的四棱錐，求出梯形BCED的面積，并求出A點(diǎn)到這個(gè)面的距離，也即A點(diǎn)到BC的距離即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：作的中點(diǎn)，連結(jié)．

在中，，又據(jù)題意知，．

∴，∴四邊形為平行四邊形．

∴，又面，平面．

∴面． 6分

（Ⅱ）據(jù)題意知，多面體為四棱錐．

過點(diǎn)作于．

∵平面，平面，

∴平面平面．

又，平面，平面平面，

∴面．

∴在四棱錐中，底面為直角梯形，高．

∴．

∴多面體的體積為． 6分

考點(diǎn)：空間幾何體中的線面關(guān)系，錐體的體積