Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，截面ABC₁D₁為正方形．
（1）求長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；  
（2）求證：A₁D⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形AA₁D₁中，求出AD₁，通過截面ABC₁D₁為正方形，求出AB，然后求解長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V；  
（2）證法一：證明AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，通過AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，證明A₁D⊥平面ABC₁D₁．
證法二：證明平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，證明AD₁⊥A₁D，平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，A₁D?平面AA₁D₁D，即可證明A₁D⊥平面ABC₁D₁．

解答：滿分（14分）．
（1）解：在直角三角形AA₁D₁中，AA₁=1，A₁D₁=AD=1，
∴AD1=

A A 2 1 +A1 D 2 1

=

2

．…（2分）
∵截面ABC₁D₁為正方形，
∴AB=AD1=

2

．…（4分）
∴長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=SABCD•AA1=1×

2

×1=

2

．…（6分）
（2）證法一：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．…（8分）
∵AD=AA₁，
∴四邊形AA₁D₁D為正方形．…（10分）
∴AD₁⊥A₁D．…（12分）
∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．…（14分）
證法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵AB?平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D．…（8分）
∵AD=AA₁，
∴四邊形AA₁D₁D為正方形．…（10分）
∴AD₁⊥A₁D．…（12分）
∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．…（14分）

點評：本小題主要考查空間線面位置關(guān)系，幾何體體積等基本知識，考查空間想象能力和推理論證能力，注意判定定理的應(yīng)用．