Question

已知函數(shù)f(x)=

2-x

x-1

，g（x）=（x+1）³
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并利用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，+∞）上的單調(diào)性；
（3）判斷f（x）-g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)解析式為f(x)=

2-x

x-1

-1+

1

x-1

，故把函數(shù)y=

1

x

的圖象向右平移1個單位，再向下平移1個單位，即可得到函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示．
（2）函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，1）、（1，+∞），用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）-g（x）的零點個數(shù)，即函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=（x+1）³ 的圖象交點的個數(shù)，在同一個坐標系中，畫出函數(shù)函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=
（x+1）³ 的圖象，數(shù)形結(jié)合可得由于這2個函數(shù)的圖象僅有2個交點，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

2-x

x-1

=-

(x-1)-1

x-1

=-1+

1

x-1

，故把函數(shù)y=

1

x

的圖象向右平移1個單位，
再向下平移1個單位，即可得到函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
（2）函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，1）、（1，+∞）．
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)-3＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

．
由題設(shè)可得 x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0，∴

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＞0，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，1）上是減函數(shù)．
同理可證，函數(shù)f（x）在在（1，+∞）上是減函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）-g（x）的零點個數(shù)，即函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=（x+1）³  的圖象交點的個數(shù)，
在同一個坐標系中，畫出函數(shù)函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=（x+1）³ 的圖象，如圖所示，
由于這2個函數(shù)的圖象僅有2個交點，故函數(shù)f（x）-g（x）的零點個數(shù)為2．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．