【題目】已知函數 |﹣ |,其中﹣3≤a≤1.
(Ⅰ)當a=1時,解不等式f(x)≥1;
(Ⅱ)對于任意α∈[﹣3,1],不等式f(x)≥m的解集為空集,求實數m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)當a=1時,f(x)=|x+2|﹣|x|,
①當x<﹣2時,不等式即為﹣x﹣2+x≥1,不等式無解;
②當﹣2≤x≤0時,不等式即為x+2+x≥1,解得 ;
③當x>0時,不等式即為x+2﹣x≥1,不等式恒成立.
綜上所述,不等式的解集是 .
(Ⅱ)由 .
而 = 4+4=8,
∴ ,∴ .
要使不等式f(x)≥m的解集為空集,則有 ,
所以,實數m的取值范圍是
【解析】(I)討論x的范圍,去掉絕對值符號,解出x的范圍;(II)利用絕對值不等式的性質和基本不等式得出f(x)的最大值,即可得出m的范圍.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關鍵是去掉絕對值的符號.
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【題目】已知數列{an}中,a1=4,an+1= ,n∈N* , Sn為{an}的前n項和.
(Ⅰ)求證:n∈N*時,an>an+1;
(Ⅱ)求證:n∈N*時,2≤Sn﹣2n< .
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【題目】函數p(x)=lnx+x﹣4,q(x)=axex(a∈R).
(Ⅰ)若a=e,設f(x)=p(x)﹣q(x),試證明f′(x)存在唯一零點x0∈(0, ),并求f(x)的最大值;
(Ⅱ)若關于x的不等式|p(x)|>q(x)的解集中有且只有兩個整數,求實數a的取值范圍.
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【題目】利用計算機產生120個隨機正整數,其最高位數字(如:34的最高位數字為3,567的最高位數字為5)的頻數分布圖如圖所示,若從這120個正整數中任意取出一個,設其最高位數字為d(d=1,2,…,9)的概率為P,下列選項中,最能反映P與d的關系的是( )
A.P=lg(1+ )
B.P=
C.P=
D.P= ×
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【題目】第96屆(春季)全國糖酒商品交易會于2017年3月23日至25日在四川舉辦.交易會開始前,展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數與餐廳所需原材料數量的關系,查閱了最近5次交易會的參會人數x(萬人)與餐廳所用原材料數量t(袋),得到如下數據:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數x(萬人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料t(袋) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(Ⅰ)請根據所給五組數據,求出t關于x的線性回歸方程 ;
(Ⅱ)已知購買原材料的費用C(元)與數量t(袋)的關系為 投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為600元,多余的原材料只能無償返還.若餐廳原材料現恰好用完,據悉本次交易會大約有14萬人參加,根據(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預測餐廳應購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤L=銷售收入﹣原材料費用).
(參考公式: = , )
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【題目】設a,b∈R,函數 ,g(x)=ex(e為自然對數的底數),且函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象在x=0處有公共的切線.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)討論函數f(x)的單調性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)內恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】若函數 在(0,2)上存在兩個極值點,則a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣∞,﹣ )
C.(﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,﹣ )
D.(﹣e,﹣ )∪(1,+∞)
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,點D,E分別是AA1 , BC的中點.
(1)證明:DE∥平面A1B1C;
(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.
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