如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
(1)證明:C1C⊥BD;
(2)假定CD=2,CC1=,記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α-BD-β的平面角的余弦值;
(3)當(dāng)的值為多少時(shí),能使A1C⊥平面C1BD?請(qǐng)給出證明.

【答案】分析:(1)要證線線垂直,只要證線面垂直,由線面垂直的判定定理,只要找到一條直線垂直于兩條相交直線即可,由題意易得,∴△C1BD為等腰三角形,故AC和BD交于O,則C1O⊥BD,又AC⊥BD,命題可證.
(2)由(1)知∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角,由余弦定理解△C1OC即可.
(3)可先猜測(cè)的值,然后證明A1C⊥平面C1BD.只要證A1C⊥平面C1BD內(nèi)的兩條相交直線即可,易得BD⊥平面AC1,BD⊥A1C.同理再證BC1⊥A1C即可.
解答:解:(1)證明:如圖:
連接AC、設(shè)AC和BD交于O,連接C1O.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD=CD.
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,
∴△C1BC≌△C1DC
∴C1B=C1D,
∵DO=OB
∴C1O⊥BD,
但AC⊥BD,AC∩C1O=O,
∴BD⊥平面AC1C,
又C1C?平面AC1C
∴C1C⊥BD.
(2)解:由(1)知AC⊥BD,C1O⊥BD,
∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角.
在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60°,
∴C1B2=22+(2-2×2××cos60°=
∵∠OCB=30°,
∴OB=BC=1.
∴C1O2=C1B2-OB2=,
∴C1O=即C1O=C1C.
作C1H⊥OC,垂足為H.
∴點(diǎn)H是OC的中點(diǎn),且OH=,
所以cos∠C1OC==
(3)如圖:
當(dāng)=1時(shí),能使A1C⊥平面C1BD
由(1)知,BD⊥平面AC1C,
∵A1C?平面AC1,∴BD⊥A1C.
當(dāng)=1時(shí),平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形,
同BD⊥A1C的證法可得BC1⊥A1C,
又BD⊥BC1=B,
∴A1C⊥平面C1BD.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系,邏輯推理能力.
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如圖,已知平行六面體OABC-O1A1B1C1,點(diǎn)G是上底面O1A1B1C1的中心,且
OA
=
a
OC
=
b
,
OO1
=
c
,則用
a
b
,
c
表示向量
OG
為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影為O.
(1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,問F在何處時(shí),EF⊥AD?

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如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影為O.
(1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,問F在何處時(shí),EF⊥AD?
(3)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1(底面是平行四邊形的四棱柱)
①求證:平面AB1D1∥平面BDC1
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC1B1,E為CD的中點(diǎn),AC1∩BD1=0,求證:OE⊥平面ABC1D1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.
(1)求證:面O1DC⊥面ABCD;
(2)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B大;
(3)若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,問點(diǎn)F在何處時(shí),EF⊥AD.

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