Question

如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，為等腰三角形，是邊上的中線，所以，再由已知條件算出的三條邊長(zhǎng)，由此根據(jù)勾股定理，可證,從而得證平面；（2）作于F，連AF，由（1）知，  故，所以 ,則 是二面角的平面角，利用平面幾何知識(shí)即可算出其正切值；（3）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041804324265621583/SYS201404180433409687326936_DA.files/image018.png">,所以,從而求出．也可以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用利用空間向量方法，求解各個(gè)小題，詳見解析．

試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)OC

在中，由已知可得    而

即

平面

（Ⅱ）解： 作于F，連AF

由（1）知，  故 

 , 是二面角的平面角，

易知,.

即所求二面角的正切值為 

（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為

在中，

而

點(diǎn)E到平面ACD的距離為

方法二：（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為則

令得是平面ACD的一個(gè)法向量，又

點(diǎn)E到平面ACD的距離．

考點(diǎn)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線與平面垂直的判定，空間點(diǎn)到平面的距離，二面角的平面角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，（II）（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解決空間距離和夾角問(wèn)題．