函數(shù)。

（1） 判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2） 若,證明函數(shù)在（2，+）單調(diào)增；

（3） 對任意的，恒成立，求的范圍。

 

【答案】

（1）函數(shù)為奇函數(shù)。 (2) 即。函數(shù)在單增；（3）。

【解析】

試題分析：（1）該函數(shù)為奇函數(shù)�！�..1分

證明：函數(shù)定義域為

對于任意有

所以函數(shù)為奇函數(shù)。

(2) 即。設(shè)任意且

則

，即

函數(shù)在單點增

（3）由題意：對于任意恒成立。

從而對于任意恒成立。

即對于任意恒成立。

設(shè)則當(dāng)有最大值，

所以，。

考點：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，不等式恒成立問題。

點評：中檔題，高一階段，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，多運用“定義”，這是處理這里問題的基本方法。對于“恒成立問題”，一般運用“分離參數(shù)法”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”？
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對任意的x，x2∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
12
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，用分點T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，將區(qū)間[a，b]任意劃分成n個小區(qū)間，若存在常數(shù)M，使
ni=1
f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否為有界變差函數(shù)，并說明理由；
（2）定義在[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f（x）是否一定為有界變差函數(shù)？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（3）若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：存在常數(shù)k，使得對于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：對于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f1（x）=2-
x
及f2（x）=1+3•（
1
2
)x（x≥0）是否在集合A中？試說明理由；
（2）對于（1）中你認(rèn)為是集合A中的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立．求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩個實數(shù)x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請直接寫出實數(shù)a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對于任意實數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•楊浦區(qū)一模）若函數(shù)y=f（x），如果存在給定的實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱y=f（x）為“Ω函數(shù)”．
（1）判斷下列函數(shù)，是否為“Ω函數(shù)”，并說明理由；
①f（x）=x3         ②f（x）=2x
（2）已知函數(shù)f（x）=tanx是一個“Ω函數(shù)”，求出所有的有序?qū)崝?shù)對（a，b）．

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