【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=2,b1=4,且 2bn=an+an+1 , an+12=bnbn+1 .
(Ⅰ)求 a 2 , a3 , a4 及b2 , b3 , b4;
(Ⅱ)猜想{an},{bn} 的通項公式,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對所有的 n∈N* , … < < sin .
【答案】解:(I)令n=1得 ,解得 ,
令n=2得 ,解得 ,
令n=3得 ,解得 .
(II)猜想:an=n(n+1),bn=(n+1)2.
證明:當(dāng)n=1時,猜想顯然成立,
假設(shè)n=k(k≥1)猜想成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
∵2bk=ak+ak+1,∴ak+1=2bk﹣ak=2(k+1)2﹣k(k+1)=(k+1)(k+2),
∵ak+12=bkbk+1,∴bk+1= =(k+2)2,
∴當(dāng)n=k+1時,猜想成立,
∴an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N+.
(III)證明:由(II)可知 = ,
于是原不等式等價于 … < < sin ,
(i)先證 … < ,
∵4n2﹣1<4n2,∴(2n+1)(2n﹣1)<4n2,
∴(2n﹣1)2(2n+1)<4n2(2n﹣1),
即( )2< ,即 < ,
∴ … < … = ,
(ii)再證 < sin .
令 =x,則0<x≤ < ,
設(shè)f(x)=x﹣ sinx,則f′(x)=1﹣ cosx<0,
∴f(x)在(0, )上單調(diào)遞減,
∴f(x)<f(0)=0,即x sinx,
∴ < sin .
綜上,對所有的 n∈N*, … < < sin .
【解析】(I)利用特值法分別令n=1,n=2,n=3代入,即可求的答案;
(Ⅱ)猜想:an=n(n+1),bn=(n+1)2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想;
(III)由(II)得到證明的猜想可知,。用不等式的放縮即可證明。
【考點精析】認真審題,首先需要了解歸納推理(根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納理).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x||x|<1},N={y|y=2x , x∈M},則集合R(M∩N)等于( )
A.(﹣∞, ]
B.( ,1)
C.(﹣∞, ]∪[1,+∞)
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】x,y 滿足約束條件 ,若 z=y﹣ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù) a 的值為( )
A. 或﹣1
B.2 或
C.2 或1
D.2 或﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1(ω>0)的周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的值域.
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【題目】已知函數(shù)上的一個最高點的坐標(biāo)為,由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點,若.
(1)求的解析式.
(2)求在上的值域.
(3)若對任意實數(shù),不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acos A=ccos B+bcos C.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若b2+c2=7,求△ABC的面積.
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【題目】已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)﹣ .
(Ⅰ)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)存在兩個極值點x1 , x2 , 且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范圍.
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【題目】環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質(zhì)量,每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制,保留一位小數(shù)).現(xiàn)隨機抽取20天的指數(shù)(見下表),將指數(shù)不低于8.5視為當(dāng)天空氣質(zhì)量優(yōu)良.
天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.1 | 8.3 | 7.3 | 9.5 | 8.6 | 7.7 | 8.7 | 8.8 | 8.7 | 9.1 |
天數(shù) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.4 | 8.5 | 9.7 | 8.4 | 9.6 | 7.6 | 9.4 | 8.9 | 8.3 | 9.3 |
(Ⅰ)求從這20天隨機抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)以這20天的數(shù)據(jù)估計我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多).若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機抽取3天的指數(shù),用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},a1=2,a2=6,且滿足=2(n≥2且n∈N+)
(1)證明:新數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列,并求出an的通項公式
(2)令bn=,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,證明:S2n-Sn<5
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