Question

已知命題p：?x∈R，ax²+ax+1＞0及命題q：?x₀∈R，x₀²-x₀+a=0，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：題p：?x∈R，ax²+ax+1＞0，對(duì)a分類(lèi)討論：當(dāng)a=0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)a≠0時(shí)，可得

a＞0 △=a2-4a＜0

．命題q：?x₀∈R，x₀²-x₀+a=0，可得△₁≥0．由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得命題p與q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命題p：?x∈R，ax²+ax+1＞0，當(dāng)a=0時(shí)，1＞0成立，因此a=0滿(mǎn)足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，可得

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4．
綜上可得：0≤a＜4．
命題q：?x₀∈R，x₀²-x₀+a=0，∴△₁=1-4a≥0，解得a≤

1

4

．
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴命題p與q必然一真一假．
∴

0≤a＜4 a＞ 1 4

或

a＜0或a≥4 a≤ 1 4

，
解得a≤0或

1

4

＜a＜4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0或

1

4

＜a＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式與一元二次方程的解集與判別式的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．