Question

矩形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線(xiàn)段OF的四等分點(diǎn)，R′，S′，T′是線(xiàn)段CF的四等分點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點(diǎn)依次為L(zhǎng)，M，N．
（1）求以HF為長(zhǎng)軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點(diǎn)L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請(qǐng)以點(diǎn)L為例，給出證明（即證明點(diǎn)L在橢圓Q上）．
（3）設(shè)線(xiàn)段OF的n（n∈N₊，n≥2）等分點(diǎn)從左向右依次為R_i（i=1，2，…，n-1），線(xiàn)段CF的n等分點(diǎn)從上向下依次為T(mén)_i（i=1，2，…，n-1），那么直線(xiàn)ER_i（i=1，2，…，n-1）與哪條直線(xiàn)的交點(diǎn)一定在橢圓Q上？（寫(xiě)出結(jié)果即可，此問(wèn)不要求證明）

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，2a=AB=8，2b=BC=6，求出a，b，即可得出橢圓Q的方程；
（2）確定直線(xiàn)ER的方程、直線(xiàn)GR′的方程，聯(lián)立可解得L的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可得證．
（3）由（2）知，直線(xiàn)ER_i（i=1，2，…，n-1）與直線(xiàn)GT_i（i=1，2，…，n-1）的交點(diǎn)一定在橢圓Q上．

解答： 解：（1）由題意，2a=AB=8，2b=BC=6，
∴a=4，b=3，
∴橢圓Q的方程為

x2

16

+

y2

9

=1；
（2）由題意知E（0，-3），R（1，0），G（0，3），R（4，

9

4

）．
可得直線(xiàn)ER的方程為y=3x-3，直線(xiàn)GR′的方程為y=-

3

16

x+3
聯(lián)立可解得L(

96

51

，

135

51

)，代入橢圓方程

x2

16

+

y2

9

=1成立，得證．
（3）由（2）知，直線(xiàn)ER_i（i=1，2，…，n-1）與直線(xiàn)GT_i（i=1，2，…，n-1）的交點(diǎn)一定在橢圓Q上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．