Question

如圖，海中小島A周圍40海里內(nèi)有暗礁，一船正在向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測(cè)得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問(wèn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？

Answer 1

分析：在三角形ABC中，由B與C度數(shù)求出A的度數(shù)，再由sinA，sinB及BC的長(zhǎng)，利用正弦定理求出AC的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出A到BC邊的距離，與40比較大小即可做出判斷．

解答：解：在△ABC中，BC=30，∠B=30°，∠C=135°，所以∠A=15°，
根據(jù)正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：

30

sin15°

=

AC

sin30°

，
∴AC=

30sin30°

sin15°

=60cos15°=60cos（45°-30°）=60（cos45°cos30°+sin45°sin30°）=15（

6

+

2

），
∴A到BC邊所在直線的距離為：ACsin45°=15（

6

+

2

）×

2

2

=15（

3

+1）≈40.98（海里），
∵40.98＞40，
∴船繼續(xù)向南航行沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，
則此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．