Question

如圖中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率，且經(jīng)過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)B（2，0）的直線l（斜率不等于零）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上求得b的值，再由橢圓的離心率求出a與c的關(guān)系，結(jié)合b²=a²-c²求出a²，從而橢圓的方程可求；
（Ⅱ）點(diǎn)B在橢圓之外，由圖形可知當(dāng)線段趨近橢圓切線時(shí)，E和F點(diǎn)也趨近重合，此時(shí)趨近于1，當(dāng)E、F點(diǎn)趨近X軸時(shí)三角形OBE和三角形OBF面積之比則趨近．則答案可求．
解答：解：（1）拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為（0，1），而橢圓經(jīng)過其焦點(diǎn)，又長軸在X軸上，
則短半軸長為1，
設(shè)橢圓方程為．
由b=1，e=，c=．
=1，
所以a²=2，
故橢圓方程為：=1；
（2）如圖，點(diǎn)B坐標(biāo)（2，0）在橢圓之外，當(dāng)線段趨近橢圓切線時(shí)，E和F點(diǎn)也趨近重合，
此時(shí)趨近于1，
而當(dāng)E、F點(diǎn)趨近X軸時(shí)三角形OBE和三角形OBF面積之比則趨近．
故．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想和極限思想，是有一定難度題目．