Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（-1）=1，若對任意a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式f（1-x）+f（1-x²）＞0；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•(x1-x2)．根據(jù)函數(shù)的奇偶性及已知不等式可得差的符號，由單調(diào)性的定義可作出判斷；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式可求，注意函數(shù)定義域；
（3）對所有x[-1，1]，f（x）≤m²-2am+1成立，等價于f（x）_max≤m²-2am+1，由單調(diào)性易求f（x）_max，從而可化為關于a的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得關于m的不等式組；

解答：解：（1）f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
又f（x）是奇函數(shù)，
于是f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•(x1-x2)．
據(jù)已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．
（2）由奇函數(shù)性質(zhì)知，f（1-x）+f（1-x²）＞0可化為f（1-x）＞-f（1-x²）=f（x²-1），
由（1）知f（x）為奇函數(shù)，所以有1-x＜x²-1①，
且-1≤1-x≤1②，
-1≤x²-1≤1③，
聯(lián)立①②③解得，1＜x≤

2

，
故不等式的解集為{x|1＜x≤

2

}．
（3）對所有x[-1，1]，f（x）≤m²-2am+1成立，等價于f（x）_max≤m²-2am+1，
由f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞減知，f（x）_max=f（-1）=1，
所以1≤m²-2am+1，即0≤m²-2am，
又對a∈[-1，1]恒成立，則有

m2-2m(-1)≥0 m2-2m×1≥0

，解得m≤-2或m=0或m≥2，
故實數(shù)m的取值范圍為m≤-2或m=0或m≥2．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用，考查恒成立問題．考查轉(zhuǎn)化思想，在解題時要利用好單調(diào)性和奇偶性的定義．