Question

某校在招收體育特長生時，須對報名學(xué)生進(jìn)行三個項(xiàng)目的測試．規(guī)定三項(xiàng)都合格者才能錄取．假定每項(xiàng)測試相互獨(dú)立，學(xué)生A各項(xiàng)測試合格的概率組成一個公差為

1

8

的等差數(shù)列，且第一項(xiàng)測試不合格的概率超過

1

2

，第一項(xiàng)測試不合格但第二項(xiàng)測試合格的概率為

9

32

．
（Ⅰ）求學(xué)生A被錄取的概率；
（Ⅱ）求學(xué)生A測試合格的項(xiàng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）學(xué)生A被錄取，包括進(jìn)行三個項(xiàng)目的測試，規(guī)定三項(xiàng)都合格者才能錄取，假定每項(xiàng)測試相互獨(dú)立，可用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率求概率，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)做出每一項(xiàng)合格的概率．
（II）學(xué)生A測試合格的項(xiàng)數(shù)X，由題意知X的取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率做出概率，寫出分布列，做出期望．

解答：解：（I）記學(xué)生A通過這三個項(xiàng)目的測試的事件分別為B，C，D，
由題設(shè)可設(shè)P（B）=a，P ( C ) = a+

1

8

，P ( D ) = a+

1

4

( a＜

1

2

 )．
由題意得，( 1-a )( a+

1

8

 )=

9

32

，
解得a=

1

4

，或a=

5

8

（舍去，不合題意）．
所以P ( B ) = 

1

4

，P ( C ) = 

3

8

，P ( D ) = 

1

2

．
由于事件B，C，D相互獨(dú)立，所以學(xué)生A被錄取的概率為
P₁=P ( BCD )=P ( B ) P ( C ) P ( D )=

1

4

×

3

8

×

1

2

=

3

64

．
（Ⅱ）由題設(shè)知，學(xué)生A測試合格的項(xiàng)數(shù)X的取值為0，1，2，3．則P ( X=0 )=P ( 

.

B

 

.

C

 

.

D

 )=P ( 

.

B

 ) P ( 

.

C

 ) P ( 

.

D

 )=( 1-

1

4

 )×( 1-

3

8

 )×( 1-

1

2

 )=

15

64

；P ( X=1 )=P ( B 

.

C

 

.

D

 )+P (  

.

B

 C 

.

D

 )+P ( 

.

B

 

.

C

 D )=P ( B ) P ( 

.

C

 ) P ( 

.

D

 )+P ( 

.

B

 ) P ( C ) P ( 

.

D

 )+P ( 

.

B

 ) P ( 

.

C

 ) P ( D )
=

1

4

×

5

8

×

1

2

+

3

4

×

3

8

×

1

2

+

3

4

×

5

8

×

1

2

=

29

64

；
P ( X=2 )=P ( B C 

.

D

 )+P (  B 

.

C

 D )+P ( 

.

B

 C D )=P ( B ) P ( C ) P ( 

.

D

 )+P ( B ) P ( 

.

C

 ) P ( D )+P ( 

.

B

 ) P ( C ) P ( D )
=

1

4

×

3

8

×

1

2

+

1

4

×

5

8

×

1

2

+

3

4

×

3

8

×

1

2

=

17

64

；
P ( X=3 )=P1=

3

64

．
∴X的分布列是

∴X的數(shù)學(xué)期望EX = 0× 

15

64

 + 1× 

29

64

+ 2× 

17

64

 +3× 

3

64

= 

9

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列，相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)用概率知識分析問題和解決問題的能力．