如圖，已知四棱錐S－ABCD中，△SAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PQ∥平面SCD；

(Ⅱ)求二面角B－PC－Q的大�。�

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)證明：取SC的中點(diǎn)R，連QR，DR．

　　由題意知：PD∥BC且PD＝BC；QR∥BC且QR＝BC，

　　∴QR∥PD且QR＝PD．∴四邊形PQRD是平行四邊形，

　　∴PQ∥DR，又DR面SCD，PQ面SCD，∴PQ∥面SCD．　　(6分)

　　(Ⅱ)解法一：∵SP⊥AD，面SAD⊥面ABCD，∴SP⊥面ABCD．

　　取PB的中點(diǎn)H，連QH，得QH∥SP，

　　∴QH⊥面ABCD，過(guò)H作HG⊥PC于G，連QG，

　　由三垂線定理知：QG⊥PC，∴∠QGH即為所求二面角的平面角，

　　而QH＝SP＝·

　　在三角形PBC中，∠PBC＝90°，PB＝，BC＝a，∴PC＝

　　∴HG＝PH·sin∠CPB＝，

　　∴tan∠QGH＝

　　∴二面角B－PC－Q的大小為arctan．　　(12分)

　　解法二：以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

　　則S(0，0，)，B(0，，0)，C(－a，，0)，Q(0，，)，

　　面PBC的法向量為＝(0，0，)，設(shè)n＝(x，y，z)為面PQC的一個(gè)法向量，

　　由

　　

　　注意到B－PC－Q為銳角，故二面角B－PC－Q的大小為arccos　　(12分)


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長(zhǎng)為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開(kāi)成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長(zhǎng)等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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