Question

已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的定義域．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題．在解答時(shí)，對(duì)（1）由于函數(shù)f（x）的定義域是R，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立．
解此恒成立問(wèn)題即可獲得實(shí)數(shù)a的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)最值的知識(shí)易得函數(shù)f（x）的值域；對(duì)（2）由于函數(shù)f（x）的值域是R，所以u(píng)=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立．
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．
又因?yàn)閍x²+2x+1=a（x+

1

a

）²+1-

1

a

＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

），
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg(1-

1

a

)，+∞)．
（2）因?yàn)閒（x）的值域是R，所以u(píng)=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
當(dāng)a=0時(shí)，u=2x+1的值域?yàn)镽?（0，+∞）；
當(dāng)a≠0時(shí)，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等價(jià)于

a＞0 4a-4 4a ≤0.

解之得0＜a≤1
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0.1]當(dāng)a=0時(shí)，由2x+1＞0得x＞-

1

2

，
f（x）的定義域是（-

1

2

，+∞）；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由ax²+2x+1＞0
解得x＜-

1+ 1-a

a

或x＞-

1- 1-a

a

f（x）的定義域是(-∞，-

1+ 1-a

a

)∪(-

1- 1-a

a

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．