Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足an+2SnSn﹣1=0（n≥2），a1= ．
（1）求證：{ }是等差數(shù)列；
（2）求an的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵﹣an=2SnSn﹣1，

∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3）．

∴ ﹣ =2．

又 = =2，∴{ }是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列

（2）解：由（1）， =2+（n﹣1）2=2n，∴Sn= ．

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =﹣ 〔或n≥2時，an=﹣2SnSn﹣1=﹣ 〕；

當n=1時，S1=a1= ．

∴an=

【解析】（1）本題關(guān)鍵是將an=Sn﹣Sn﹣1代入化簡，再根據(jù)等差數(shù)列的定義進行判定即可．（2）先求出Sn ， 利用Sn求an ， 必須分類討論an= ，求解可得．
【考點精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．