Question

已知0＜α＜β＜γ＜2π，且cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：β-α=

2

3

π

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知等式表示出cosγ與sinγ，代入sin²γ+cos²γ=1中，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)即可得證．

解答： 證明：∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=-cosα-cosβ，sinγ=-sinα-sinβ，
∵sin²γ+cos²γ=1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
整理得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-

1

2

，
∴cos（β-α）=-

1

2

，
∵0＜α＜β＜2π，
∴β-α=

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．