(本題滿分12分)

如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中點,A1D⊥BE.

(I)求證:A1D⊥平面BDE;

(II)求二面角B―DE―C的大;

(III)求點B到平面A1DE的距離    

 

【答案】

(1)見解析;(2)∠BNM=arctan (10’)(3)BN==a 。

【解析】(1)因為A1D⊥BE,再根據(jù)AD⊥BD,,所以,

所以,因而,問題得證.

(2)作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵,具體做法取CD中點M,連BM,則BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,連NB,則∠BNM是二面角B―DE―C的平面角,然后解三角形求角即可.

(3)在(2)的基礎(chǔ)上,易證BN長就是點B到平面A1DE的距離,因而可得BN==a.

(1)∵AA1⊥面ABCD,∴AA1⊥BD,

又BD⊥AD,∴BD⊥A1D        (2’)

又A1D⊥BE,

∴A1D⊥平面BDE                (3’)

(2)連B1C,則B1C⊥BE,易證RtΔCBE∽RtΔCBB1,

=,又E為CC1中點,∴BB12=BC2=a2,

∴BB1=a          (5’)

取CD中點M,連BM,則BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,連NB,則∠BNM是二面角B―DE―C的平面角                (7’)

RtΔCED中,易求得MN=,RtΔBMN中,tan∠BNM==,∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易證BN長就是點B到平面A1DE的距離    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解:以D為坐標原點,DA為x軸、DB為y軸、DD1為z軸建立空間直角坐標系

則B(0,a,0),設(shè)A1(a,0,x),E(-a,a, ),=(-a,0,-x),=(-a,0, ),∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0,x2=2a2,x=a,即BB1=a.

 

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求證:⊥平面

(Ⅱ)求二面角的大;

(Ⅲ)求點到平面的距離.

 

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