已知
a
,
b
是兩個(gè)向量,且
a
=(1,
3
cosx),
b
=(cos2x,sinx),x∈R,定義:y=
a
b

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)及其單調(diào)遞增區(qū)間;?
(2)若x∈[0,
π
2
],求函數(shù)y=f(x)的最大值、最小值及其相應(yīng)的x的值.
分析:(1)根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和定義的函數(shù),寫出y的表示式,式子是一個(gè)三角函數(shù)式,逆用二倍角公式變化為能求解三角函數(shù)性質(zhì)的形式,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間寫出y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)根據(jù)所給的變量x的范圍,寫出2x-
π
3
的范圍,結(jié)合余弦的三角函數(shù)圖象,寫出cos(2x-
π
3
)的范圍,根據(jù)范圍寫出最值和對(duì)應(yīng)的變量的取值.
解答:解:(1)∵
a
=(1,
3
cosx),
b
=(cos2x,sinx),
a
b
=cos2x+
3
cosx•sinx=cos(2x-
π
3
)+
1
2
,
∴y=cos(2x-
π
3
)+
1
2

要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,
只要使2x-
π
3
∈[2kπ,2kπ+π]
解得單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z).
(2)由x∈[0,
π
2
],得-
π
3
≤2x-
π
3
3
,
∴-
1
2
≤cos(2x-
π
3
)≤1.
∴f(x)min=0,
此時(shí)x=
π
2
;?
f(x)max=
3
2
,此時(shí)x=
π
6
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)三角函數(shù)同向量結(jié)合的問題,是以向量的數(shù)量積為條件,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,是一道綜合題,在高考時(shí)可以以選擇和填空形式出現(xiàn),也可以以解答題形式出現(xiàn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
b
是兩個(gè)向量,則“
a
=3
b
”是“|
a
|=3|
b
|”的( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知
a
,
b
是兩個(gè)向量,則“
a
=3
b
”是“|
a
|=3|
b
|”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知
a
b
是兩個(gè)向量,則“
a
=3
b
”是“|
a
|=3|
b
|”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知
a
,
b
是兩個(gè)向量,且
a
=(1,
3
cosx),
b
=(cos2x,sinx),x∈R,定義:y=
a
b

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)及其單調(diào)遞增區(qū)間;?
(2)若x∈[0,
π
2
],求函數(shù)y=f(x)的最大值、最小值及其相應(yīng)的x的值.

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