Question

16．函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+2）x成立，且f（2）=12．
（1）求f（0）的值；
（2）在（1，4）上存在x₀∈R，使得f（x₀）-8=ax₀成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=2，y=0，則f（2+0）-f（0）=（2+0+2）×2=8．即可得出．
（2）令y=0，易得：f（x）=x²+2x+4．在（1，4）上存在x₀∈R，使得f（x₀）-8=ax₀成立，等價于方程x²+2x=4-8=ax在（1，4）內有解．即a=x+2-$\frac{4}{x}$，1＜x＜4．設函數g（x）=x-$\frac{4}{x}$+2（x∈（1，4））．證明其單調性即可得出．

解答 解：（1）令x=2，y=0，則f（2+0）-f（0）=（2+0+2）×2=8．
∵f（2）=12，∴f（0）=4．
（2）令y=0，易得：f（x）=x²+2x+4．
在（1，4）上存在x₀∈R，使得f（x₀）-8=ax₀成立，
等價于方程x²+2x=4-8=ax在（1，4）內有解．
即a=x+2-$\frac{4}{x}$，1＜x＜4．
設函數g（x）=x-$\frac{4}{x}$+2（x∈（1，4））．
設x₁，x₂是（1，4）上任意兩個實數，且x₁＜x₂，則
g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）$（1+\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$．
由1＜x₁＜x₂＜4，得x₁-x₂＜0，
于是g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
所以函數g（x）=x-$\frac{4}{x}$+2在（1，4）上是增函數．
∴實數a的取值范圍是（-1，5）．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性、不等式的解法，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．