Question

【題目】如圖，點(diǎn)F1 ， F2分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線AF2與橢圓C的另一交點(diǎn)，且滿足AF1⊥x軸，∠AF2F1=30°．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若△ABF1的周長為4 ， 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）若△ABF1的面積為8 ， 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】解：（1）Rt△AF1F2中，∵∠AF2F1=30°，
∴，
則，代入并利用b2=a2﹣c2化簡整理，
得3a4﹣2a2c2﹣3c4=0，即（a2﹣3c2）（3a2﹣c2）=0，
∵a＞c，
∴a=c，
∴e==．
（2）由橢圓定義知AF1+AF2=BF1+BF2=2a，
∴△ABF1的周長為4a，
∴4a=4，則a=，b=，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（3）由（1）知a=c，則b=c，
于是橢圓方程可化為，即2x2+3y2=6c2 ，
設(shè)直線AF2的方程為y=(x-c)，代入2x2+3y2=6c2化簡整理得3x2﹣2cx﹣5c2=0，
∴x=﹣c或x=c，
則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為c，
∴點(diǎn)B到直線AF1的距離為c-(-c)=c
∴△ABF1的面積為，
解得c=3，
∴a=3,b=3
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【解析】（1）通過求解直角三角形得到A的坐標(biāo)，代入橢圓方程整理，結(jié)合隱含條件求得橢圓C的離心率e；
（2）通過橢圓定義結(jié)合三角形的周長及隱含條件求得答案；
（3）由（1）得到a與c，b與c的關(guān)系，設(shè)直線AF2的方程為y=(x-c)，代入2x2+3y2=6c2化簡整理，求得B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角形面積求得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．