Question

在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數(shù)），則稱{a_n}為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的判斷；
①若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_n²}是等差數(shù)列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
③若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；
④若{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列．
其中正確命題序號為（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等方差數(shù)列的定義①{a_n}是等方差數(shù)列，則a_n²-a_n-1²=p（p為常數(shù)），根據(jù)等差數(shù)列的定義，可證；②驗證[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²是一個常數(shù)；③驗證a_kn+1²-a_kn²是一個常數(shù)；④根據(jù)等方差數(shù)列和等差數(shù)列的定義，證明公差是零即可．
解答：解：①∵{a_n}是等方差數(shù)列，∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數(shù)）得到{a_n²}為首項是a₁²，公差為p的等差數(shù)列；
∴{a_n²}是等差數(shù)列；
②數(shù)列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；故②正確；
③數(shù)列{a_n}中的項列舉出來是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數(shù)列{a_kn}中的項列舉出來是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）是等方差數(shù)列；故③正確；
④∵{a_n}既是等差數(shù)列，∴a_n-a_n-1=d，
∵{a_n}既是等方差數(shù)列，，∴a_n²-a_n-1²=p
∴（a_n+a_n-1）d=p，
1°當d=0時，數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
2°當d≠0時，a_n=，數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
綜上數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，故④正確，
故選C．
點評：本題考查等差數(shù)列的定義及其應用，解題時要注意掌握數(shù)列的概念，屬基礎(chǔ)題．