【題目】已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求證：若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則；

（2）寫出（1）的逆命題，判斷真假，并證明你的判斷.

【答案】（1）證明見解析；（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點(diǎn)；真命題.見解析

【解析】

（1）不妨設(shè)拋物線方程為 ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為 代入，驗(yàn)證.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入，得，再由韋達(dá)定理驗(yàn)證.

（2）逆命題：直線過拋物線的焦點(diǎn). 是真命題.證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入，解得 ，再由，求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入，得 ，由韋達(dá)定理得再由，求得 與 的關(guān)系現(xiàn)求解.

（1）設(shè)拋物線方程為 ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

兩個(gè)交點(diǎn) ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，

代入，得 ，

所以.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

代入，

得 ，

由韋達(dá)定理得 .

所以若直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，則.

（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點(diǎn). 是真命題

證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入得

因?yàn)?/span>，

所以，

解得 ，

所以直線過拋物線的焦點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

代入，

得 ，

由韋達(dá)定理得 ，

又因?yàn)?/span>，

所以 ，

所以直線的方程，

所以直線過定點(diǎn)

即直線過拋物線的焦點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形， 在上，且面.

（1）求證: 是的中點(diǎn)；

（2）在上是否存在點(diǎn)，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖：在四棱錐中，平面.，，.點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓.

(1)過橢圓的左焦點(diǎn)，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；

(2)已知點(diǎn)，、是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，求的取值范圍；

(3)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求證：對(duì)任意大于3的實(shí)數(shù)，以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義函數(shù)，(0，)為型函數(shù)，共中．

（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；

（2）若是型函數(shù)，求函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）若是型函數(shù)，在上有三點(diǎn)A、B、C橫坐標(biāo)分別為、、，其中＜＜，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，，是的中點(diǎn).

（1）證明：面面；

（2）求與夾角的余弦值；

（3）求面與面所成二面角余弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且，平面 平面，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面 平面；

（Ⅱ）設(shè)二面角的平面角為，試判斷在線段上是否存在這樣的點(diǎn)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，對(duì)高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了體質(zhì)測(cè)試．現(xiàn)從兩個(gè)年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)選取20人，將他們的測(cè)試數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示如圖：《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如表．規(guī)定：測(cè)試數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．

等級(jí)

優(yōu)秀

良好

及格

不及格

測(cè)試數(shù)據(jù)

（Ⅰ）從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率；

（Ⅱ）從兩個(gè)年級(jí)等級(jí)為優(yōu)秀的樣本中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，求選取的兩名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率；

（Ⅲ）設(shè)該校高一學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，高二學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，試估計(jì)、的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意

不滿意

男顧客

40

10

女顧客

30

20

（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

附：．

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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