Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且點P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•sin²

nπ

2

-b_n•cos²

nπ

2

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析：（1）兩式作差即可求數(shù)列{a_n}的相鄰兩項之間的關(guān)系，找到規(guī)律即可求出通項；對于數(shù)列{b_n}，直接利用點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，代入得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列即可求通項；
（2）利用c_n=a_n•sin²

nπ

2

-b_n•cos²

nπ

2

（n∈N^*），可表示數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n，再分組求和．

解答：解：（1）S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，又S_n-S_n-1=a_n，（n≥2，n∈N^*）

∴an=2an-2an-1， ∵an≠0，

∴

an

an-1

=2，(n≥2，n∈N*)，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵點P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2，∴b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，∴b_n=2n-1
（2）T_2n=(a1+a3++a2n-1)-(b2+b4++b2n)=

2(4n-1)

3

-n(2n+1)

點評：本題主要考查數(shù)列的通項的求解，當和與通項同時存在時，通常再寫一式，作差求解．對于數(shù)列求和通�？赊D(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解．