Question

【題目】設(shè)m∈R，函數(shù)f（x）=ex﹣m（x+1） m2（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）若m=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知實(shí)數(shù)x1 ， x2滿足x1+x2=1，對(duì)任意的m＜0，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，求x1的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有一個(gè)極小值點(diǎn)為x0 ， 求證f（x0）＞﹣3，（參考數(shù)據(jù)ln6≈1.79）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=2時(shí)，f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，

故函數(shù)f（x）在[ln2，+∞）遞增；

（Ⅱ）∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，x1+x2=1，

∴2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1＜0對(duì)任意m＜0恒成立，

令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1，

當(dāng)2（x1﹣1）=0時(shí)，g（m）=0＜0不成立，

則 ，解得：x1＞1；

（Ⅲ）由題意得f′（x）=ex﹣m，f′（x0）=0，故 =m，

f（x0）= ﹣m（x0+1）+ m2= m2﹣mlnm，m＞0，

記h（m）= m2﹣mlnm，m＞0，

h′（m）= m﹣lnm﹣1，h′′（m）= ﹣ ，

當(dāng)0＜m＜2時(shí)，h′′（m）＜0，當(dāng)m＞2時(shí)，h′′（m）＞0，

故函數(shù)h′（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，

如圖所示：

[h′（m）]min=h′（2）=﹣ln2＜0，

又當(dāng)m→0時(shí)，h′（m）＞0，m→+∞，h′（m）＞0，

故函數(shù)h′（m）=0有2個(gè)根，記為m1，m2（m1＜2＜m2＜6），（h′（6）＞0），

故h（m）在（0，m1）遞增，在（m1，m2）遞減，在（m2，+∞）遞增，

又當(dāng)m→0時(shí)，h（m）＞0，h（m）在m2處取極小值，

由h′（m2）=0， m2﹣lnm2﹣1=0，lnm2= m2﹣1，

故h（m2）= ﹣m2lnm2= ﹣m2（ m2﹣1）

=﹣ +m2=﹣ +1∈（﹣3，1），

故f（x0）＞﹣3

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1＜0對(duì)任意m＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1，得到關(guān)于x1的不等式組，解出即可；（Ⅲ）求出f（x0）的解析式，記h（m）= m2﹣mlnm，m＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（m）的取值范圍，從而求出f（x0）的范圍，證明結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．