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在平面直角坐標系xOy中,拋物線y2=2x的焦點為F.設M是拋物線上的動點,則
MO
MF
的最大值為
2
3
3
2
3
3
分析:設M(m,n)到拋物線y2=2x的準線x=-
1
2
的距離等于d,由拋物線的定義可得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
,化簡為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
,利用基本不等式可求得最大值.
解答:解:解:焦點F(
1
2
,0),設M(m,n),則n2=2m,m>0,設M到準線x=-
1
2
的距離等于d,
則由拋物線的定義得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
=
m2+n2
m+
1
2
=
m2+2m
m2+m+
1
4
=
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
,
m-
1
4
m2+m+
1
4
=t,則tm2+(t-1)m+
1
4
t+
1
4
=0,
當t=0時,
|MO|
d
=1;
當t≠0時,tm2+(t-1)m+
1
4
t+
1
4
=0有解的充要條件為:△≥0,
即(t-1)2-4t(
1
4
t+
1
4
)≥0?1-3t≥0,
∴t≤
1
3

∴tmax=
1
3
,此時(
|MO|
d
)
max
=
1+
1
3
=
2
3
3

故答案為:
2
3
3
點評:本題考查拋物線的定義、簡單性質,基本不等式的應用,體現了換元的思想,把
MO
MF
化為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
是解題的關鍵和難點,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標是
3
5
,點B的縱坐標是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數方程(以t為參數)及普通方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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