Question

（2009•大連二模）電視臺(tái)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題：?jiǎn)栴}A有四個(gè)選項(xiàng)，問(wèn)題B有六個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．正確回答問(wèn)題A可獲獎(jiǎng)金m元，正確回答問(wèn)題B可獲獎(jiǎng)金n元．活動(dòng)規(guī)定：①參與者可任意選擇回答問(wèn)題的順序；②如果第一個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止．一個(gè)參與者在回答問(wèn)題前，對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題都很陌生，因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測(cè)回答問(wèn)題．試確定回答問(wèn)題的順序使獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

Answer 1

分析：隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率p₁=

1

4

，隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率p₂=

1

6

，回答問(wèn)題的順序有兩種：（1）先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B．
參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，m，m+n，則P（ξ=0）=1-p₁=

3

4

，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=

5

24

，P（ξ=m+n）=p₁p₂=

1

24

．Eξ=0×

3

4

+m×

5

24

+（m+n）×

1

24

=

m

4

+

n

24

；（2）先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A．參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，n，m+n．，則P（η=0）=1-p₂=

5

6

，P（η=n）=p₂（1-p₁）=

1

8

，P（η=m+n）=p₂p₁=

1

24

．Eη=0×

5

6

+n×

1

8

+（m+n）×

1

24

=

m

24

+

n

6

．由此能求出結(jié)果．

解答：解：隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率p₁=

1

4

，隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率p₂=

1

6

，
回答問(wèn)題的順序有兩種，分別討論如下：
（1）先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B．
參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，m，m+n．，則
P（ξ=0）=1-p₁=

3

4

，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=

5

24

，
P（ξ=m+n）=p₁p₂=

1

24

．
Eξ=0×

3

4

+m×

5

24

+（m+n）×

1

24

=

m

4

+

n

24

．
（2）先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A．
參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，n，m+n．，則
P（η=0）=1-p₂=

5

6

，P（η=n）=p₂（1-p₁）=

1

8

，
P（η=m+n）=p₂p₁=

1

24

．
Eη=0×

5

6

+n×

1

8

+（m+n）×

1

24

=

m

24

+

n

6

．
Eξ-Eη=（

m

4

+

n

24

）-（

m

24

+

n

6

）=

5m-3n

24

，
于是，當(dāng)

m

n

＞

3

5

時(shí)，Eξ＞Eη，先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B，獲獎(jiǎng)的期望值較大；
當(dāng)

m

n

=

3

5

時(shí)，Eξ=Eη，兩種順序獲獎(jiǎng)的期望值相等；
當(dāng)

m

n

＜

3

5

時(shí)，Eξ＜Eη，先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，獲獎(jiǎng)的期望值較大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率在生產(chǎn)實(shí)際中的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．