Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)(常數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(Ⅱ)討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)時，.         …1分
.             又，                         
∴曲線在點處的切線方程為.即.…3分
(Ⅱ)（1）下面先證明：．
設(shè)　，則，
且僅當(dāng)，所以，在上是增函數(shù)，故．
所以，，即．　　　…………………………5分
（2）因為，所以.
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，.
又，所以在上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù).所以， 　　　…9分
（3）下面討論函數(shù)的零點情況．
①當(dāng)，即時，函數(shù)在上無零點；　
②)當(dāng)，即時，，則
而，∴在上有一個零點；  
③當(dāng)，即時， ,
由于，，
，
所以，函數(shù)在上有兩個零點.　　　　……………………………………13分
綜上所述，在上，我們有結(jié)論：當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.           ………………………………14分
解法二：(Ⅱ)依題意，可知函數(shù)的定義域為，
 .      ………5分
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，.
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
        ……………………6分
設(shè)（，常數(shù).
∴當(dāng)時，
且僅當(dāng)時，在上是增函數(shù).
∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，
取，得由此得.       …………9分
取得由此得.      
…10分
(1)當(dāng)，即時，函數(shù)無零點；　 ………………………11分
(2)當(dāng)，即時，，則 而，
∴函數(shù)有一個零點；  …12分  
(3)當(dāng)即時.而，
∴函數(shù)有兩個零點. …13分  綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點，當(dāng)
時，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.  …14分

略