Question

已知函數(shù)，（）
（1）對于函數(shù)中的任意實數(shù)x，在上總存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍
（2）設(shè)函數(shù)，當在區(qū)間內(nèi)變化時，
（1）求函數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)有零點，求實數(shù)m的最大值.

Answer 1

（1）；（2）（1）；（2）

試題分析：（1）分析可知原命題，分別求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，討論導(dǎo)數(shù)的正負，導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性求最值。（2）（1），先求導(dǎo)得，可看成關(guān)于的一次函數(shù)，因為可得，即用導(dǎo)數(shù)討論和的單調(diào)性，用單調(diào)性求其最值。從而可得得范圍。（2）時函數(shù)有零點，說明存在使。由（1）可知在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)，同（1）可得時的最大值是，比較和的大小得函數(shù)的最大值從可得的最大值。
試題解析：（1）原命題，先求函數(shù)的最小值，令，得.當時，；當時，，故當時，取得極（最）小值，其最小值為；而函數(shù)的最小值為m,故當時，結(jié)論成立
（2）（1）：由，可得，把這個函數(shù)看成是關(guān)于的一次函數(shù)，（1）當時，，因為，故的值在區(qū)間上變化，令，，則，在為增函數(shù)，故在最小值為，又令，同樣可求得在的最大值，所以函數(shù)在的值域為。
（2）（2）當時，的最大值，故對任意，在均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)
當時，因為，，故的值在區(qū)間上變化，此時，對于函數(shù)，存在，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，在的最大值為，因為，，所以，故的最大值是，又因為，故當函數(shù)有零點時，實數(shù)m的最大值是.