Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是橢圓

y2

2

+x2=1的上焦點(diǎn)，離心率為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若

MA

=m

FA

，

MB

=n

FB

，求m+n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先，根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置，設(shè)出其方程為為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），然后，利用頂點(diǎn)和離心率確定其中的參數(shù)a，b，即可求解其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）首先，寫出橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后，設(shè)出直線l的方程和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后，聯(lián)立方程組，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
∵橢圓

y2

2

+x2=1的上焦點(diǎn)為（0，1），
∴b=1，
又∵離心率e=

c

a

=

2 5

5

．
∴a²=5，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

5

+y2=1．
（2）∵橢圓C的右焦點(diǎn)F（2，0），由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），（k＜0），
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴點(diǎn)M（0，-2k），
∴

MA

=（x₁-0，y₁+2k）=（x₁，y₁+2k），

FA

=（x₁-2，y₁-0）=（x₁-2，y₁），

MB

=（x₂，y₂+2k）

FB

=（x₂-2，y₂），
∵

MA

=m

FA

，

MB

=n

FB

，
∴（x₁，y₁+2k）=m（x₁-2，y₁），
（x₂，y₂+2k）=n（x₂-2，y₂），
∴x₁=mx₁-2m，x₂=nx₂-2n
∴m=

x1

x1-2

，n=

x2

x2-2

，
聯(lián)立方程組

x2 5 +y2=1 y=k(x-2)

，
消去y并整理，得
（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
x₁+x₂=

20k2

1+5k2

，x₁•x₂=

20k2-5

1+5k2

，
∵m=

x1

x1-2

，n=

x2

x2-2

，
∴m+n=

x1

x1-2

+

x2

x2-2

，
=

x1(x2-2)+x2(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=-10．
∴m+n的值-10．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．本題解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和直線與圓錐曲線的一般處理思路．