Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＝pⁿ＋q(p≠0且p≠1)，求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1．

Answer 1

答案：
解析：

證明：充分性：當q＝－1時，a1＝p－1， 　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，當n＝1時也成立． 　　于是＝p，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列． 　　必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q． 　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． 　　∵p≠0且p≠1， 　　∴＝p， 　　因為{an}為等比數(shù)列，所以＝p，＝p． 　　即p－1＝p＋q，q＝－1． 　　綜上所述，q＝－1，是數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件． 　　分析：充分性：由q＝－1推出{an}是等比數(shù)列，必要性：由{an}是等比數(shù)列推出q＝－1．