Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-bx²，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為x+y-1=0
（1）求f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的最大值和最小值；
（2）設(shè)g（x）=4lnx-f（x），若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≥k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得出f′（1）=-1，且f（1）=0，列方程組求解a，b．
令f′（x）=0得到極值點(diǎn)，計(jì)算出極值、函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行大小比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值．
（2）由已知，可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-kx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

4

x

+2x²-2x≥k，只需k≤（

4

x

+2x²-2x）_min．再利用導(dǎo)數(shù)工具求最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-2bx，由題知，f′（1）=-1，且f（1）=0，即3a-2b=-1，且a-b=0，
解得a=b=-1．故f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x²+2x，由f′（x）=0得，x=0或x=

2

3

，
又f（-

1

2

）=

3

8

，f（

3

2

）=-

9

8

，f（0）=0，f（

2

3

）=

4

27

，可得最大值為

3

8

，最小值為-

9

8

．
（2）由（1）得g（x）=4lnx-f（x）=4lnx+x³-x²，g′（x）=

4

x

+2x²-2x，
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≥k恒成立，即g（x₁）-kx₁≤g（x₂）-kx₂恒成立，
所以函數(shù)h（x）=g（x）-kx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

4

x

+2x²-2x≥k，
若設(shè)φ（x）=

4

x

+2x²-2x
則只需k≤φ（x）_min，φ′（x）=-

4

x2

+6x-2=

2(x-1)(3x2+2x+2)

x2

，φ′（x）=0，得x=1，x=1是φ（x）的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，所以φ（x）_min=φ（1）=5，所以k≤5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問題的能力．