Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是左、右兩個(gè)焦點(diǎn).面積的最大值為，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)，在橢圓上，已知兩點(diǎn)，，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).求證：的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意建立方程求出，即可得到橢圓方程；

（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)易求三角形面積，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)聯(lián)立橢圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離求三角形面積即可.

（1）由題意知，當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積的最大值為，

所以，解得或，

因?yàn)?/span>，所以，所以.

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，

又，所以.

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意知，

又，所以，；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，得.

則，

所以，

代入整理得：，

此時(shí)，

點(diǎn)到直線的距離，所以，

綜上, 的面積為定值.