Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0
（1）若圓的切線在x，y軸上的截距的絕對值相等，求此切線方程；
（2）從圓外一點P（x₁，y₁）向圓引一條切線，切點M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小值．

Answer 1

分析：（1）分類討論：切線的斜率存在．當切線經(jīng)過原點時，當切線不經(jīng)過原點時，設出截距式，利用切線的性質(zhì)和點到直線的距離公式即可得出．
（2）利用兩點間的距離公式和點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+3=0化為（x+1）²+（y-2）²=2，圓心為C（-1，2），半徑r=

2

．
由題意可知：切線的斜率存在．
①當切線經(jīng)過原點時，設切線方程為y=kx，則

|-k-2|

1+k2

=

2

，解得k=2±

6

．此時切線方程為y=(2±

6

)x．
②當切線不經(jīng)過原點時，設切線方程為

x

a

±

y

a

=1，即x±y=a，
則

|-1±2-a|

2

=

2

，解得a=-1或3或-5，
此時切線方程為．x±y+1=0，x-y+5=0，x+y-3=0．
（2）∵|PM|=|PO|，∴

x 2 1 + y 2 1

=

(x1+1)2+(y1-2)2-2

，化為2x₁-4y₁+3=0，即為點P的軌跡方程，
∵|PM|=|PO|，∴|PO|的最小值為原點O到此直線的距離d=

3

22+42

=

3 5

10

．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、直線的截距式、點到直線的距離公式、分類討論、兩點間的距離公式、轉(zhuǎn)化思想等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．