Question

設雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F且垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點，已知

BF

與

FA

同向，且丨

AB

丨是丨

OA

丨，丨

OB

丨的等差中項，則l₁，l₂的方程是（　�。�

• A、y=±

  1

  2

  x
• B、y=±2x
• C、y=±

  4

  3

  x
• D、y=±

  3

  4

  x

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，即可求出直線方程．

解答： 解：設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵丨

AB

丨是丨

OA

丨，丨

OB

丨的等差中項，
∴2|AB|=|OB|+|OA|，
∵|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵2|AB|=|OB|+|OA|
∴|OA|=

3

4

|AB|，
∴tan∠AOB=

4

3

而由對稱性可知：設OB的斜率為k，∴

2k

1-k2

=

4

3

，
∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）．
∴l(xiāng)₁，l₂的方程是y=±

1

2

x．
故選：A．

點評：本題考查了雙曲線的簡單性質以及等差數列的性質，由|OA|=

3

4

|AB|，聯(lián)想到對應的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關鍵．