Question

設函數(shù)f（x）=x²+ax+b，點（a，b）為函數(shù)y=

5-2x

x-2

的對稱中心，設數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足4a_n+1=f（a_n）+2a_n+2（n∈N^*），a₁=6，且b_n=

1

an+4

，{b_n}的前n項和為S_n．
（1）求a，b的值；
（2）求證：S_n＜

1

6

；
（3）求證：a_n+2≥2 2n-4+2．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由y=

5-2x

x-2

，得y+2=

1

x-2

，由此能求出a，b的值．
（2）由4a_n+1=f（a_n）+2a_n+2=an2+4an =a_n（a_n+4），得bn=

1

an+4

=

1

an

-

1

an+1

，由此能證明Sn＜

1

a1

=

1

6

．
（3）由4an+1=an2+4an，（a_n+2）²=4a_n+1+4＜4（a_n+1+2），兩邊取2為底的對數(shù)，得2log₂（a_n+2）＜2+log 2 （a_n+1+2），由此能證明an+2＞22n-1+2．（n∈N^*）．

解答： （1）解：由y=

5-2x

x-2

，得y+2=

1

x-2

，
故其對稱中心為（2，-2），所以a=2，b=-2．   （2分）
（2）證明：由4a_n+1=f（a_n）+2a_n+2=an2+4an =a_n（a_n+4），
則bn=

1

an+4

=

an

4an+1

=

an2

4an+1an

=

4an+1-4an

4an+1an

=

1

an

-

1

an+1

，（4分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

，（6分）
又4a_n+1=an2+4a_n，則an2=4an+1-4an＞0，
即a_n+1＞a_n（n∈N^*），所以數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，故a_n+1＞a₁，所以Sn＜

1

a1

=

1

6

．（8分）
（3）證明：由4an+1=an2+4an，
（a_n+2）²=4a_n+1+4＜4（a_n+1+2），兩邊取2為底的對數(shù)，
得2log₂（a_n+2）＜2+log 2 （a_n+1+2），
即2[log₂（a_n+2）-2]＜log₂（a_n+1+2）-2，（10分）
由此遞推式得：
log₂（a_n+1+2）-2＞2[log₂（a_n+2）-2]＞2²[log₂（a_n-1+2）-2]＞…＞2ⁿ[log₂（a₁+2）-2]=2ⁿ[log₂8-2）]=2ⁿ，（12分）
所以log2(an+2)-2＞2n-1，
則an+2＞22n-1+2．（n∈N^*）．（ 13分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．