.（本題滿分12分）

給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓的“伴隨圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長；

（3）點是橢圓的“伴隨圓”上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個公共點，求證：。

 

【答案】

 

（1）因為，所以

所以橢圓的方程為，伴隨圓方程……………2分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由   得  

圓心到直線的距離為所以………………………………………6分

（3）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

 當(dāng)方程為時，此時與伴隨圓交于點

此時經(jīng)過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是

(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直……………………7分

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點其中，

設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

由，消去得到，

即，……………8分

，

經(jīng)過化簡得到：，

因為，所以有，…………………………10分

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足方程，

因而，即垂直.………………………………………………12分

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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（ 本題滿分12分 ）
已知函數(shù)f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，
π2
]，求f（x）的最大值，最小值．

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設(shè)，數(shù)列.

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已知集合A={x| | x–a | < 2，xÎR }，B={x|<1，xÎR }．

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(2) 若，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)），且方程有兩個實根為.

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（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心.

 

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如圖所示，直二面角中，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點，且⊥平面

（Ⅰ）求證：⊥平面

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求點到平面的距離.

 

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