已知曲線y＝x3－x在點A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1x2≠1)處的切線l1、l2互相垂直，垂足為點C，且弦AB的斜率k＝，求證：點C在x軸上．

答案：
解析：

　　證明：設l1、l2分別交x軸于點(x3，0)、(x4，0)，∵=x2－1　∴l(xiāng)1：y－y1=(－1)(x－x1)，l2：y－y2=(－1)(x－x2)．

　　令y=0，得x3=，x4=，

　　x3－x4 ==·　　①

　　∵l1⊥l2，∴(－1)(－1)=－1，　　　　　　　　　　　　 ②

　　－－=－2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

　�、凇ⅱ鄞擘�，得x3－x4=(x1－x2)(2＋x1x2)　　　　　　　　　 ④．

　　∵k=，∴=

　　即(+＋x1x2)－3=1．由③得＋x1x2－2=0，即(x1x2＋2)(x1x2－1)=0．

　　∵x1x2≠1．

　　∴x1x2＋2=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤

　�、荽擘�，得x3=x4，即l1與l2交x軸于同一點，故C在x軸上．

　　點評：一般地，利用導數(shù)的幾何意義與斜率公式可分別把兩切線垂直、切點弦的斜率轉(zhuǎn)化為兩切點坐標的關系式，即把位置關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系．當直接

求兩切線交點的坐標運算量較大時，可根據(jù)相關式子的特征選擇“作差”法．

　　分析：(1)利用導數(shù)的幾何意義與兩切線垂直的條件，求出切線方程；(2)求切線與指定坐標軸的交點坐標；(3)由已知條件證得兩交點的橫坐標相同．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：選修設計同步數(shù)學人教A(2－2) 人教版 題型：044

已知曲線y＝x3＋3x2＋6x－10，點P(x，y)在該曲線上移動，過P的切線設為l．

(1)求證：此函數(shù)在R上單調(diào)遞增．

(2)求l的斜率k的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：學習周報　數(shù)學　北師大課標高二版(選修2－2)　2009－2010學年　第39期　總第195期 北師大課標 題型：044

已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限．

(1)求點P0的坐標；

(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省鹽城中學2012屆高三上學期期中考試數(shù)學試題 題型：022

已知曲線y＝x3－x在點(x0，y0)處的切線平行于直線y＝2x，則x0＝________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：天津市新人教A版數(shù)學2012屆高三單元測試37：變化率和導數(shù)計算 題型：044

已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限，

(1)求P0的坐標；

(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案