Question

求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m－1)x＋(m+3)y－(m－11)＝0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

答案：略
解析：

思維分析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母m，給m任何一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程．要證明這個(gè)直線系的直線都過一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線系，我們可以給出m的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過的定點(diǎn)． 另一思路是：由于方程對(duì)任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關(guān)于m的一元一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解法1：對(duì)于方程(2m－1)x+(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m=1，得x＋4y+10＝0． 解方程組得兩直線的交點(diǎn)為（2，－3)． 將點(diǎn)(2，－3)代入已知直線方程左邊，得 （2m－1）×2＋（m＋3）×（－3）－（m－11）=4m－2－3m－9－m＋11=0。 這表明不論m為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)（2，－3）． 解法2：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為 （2x＋y－1）m＋（－x＋3y＋11）=0． 由于m取值的任意性，有 解得x=2，y=－3． 所以所給的直線不論m取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（2，－3）． 點(diǎn)撥：(1)曲線過定點(diǎn)，即與參數(shù)無關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)； (2)分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值，得方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程滿足，則此點(diǎn)為定點(diǎn)．