Question

已知函數在處取到極值2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）試研究曲線的所有切線與直線垂直的條數；

（Ⅲ）若對任意，均存在，使得，試求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.           （Ⅱ）當，即或時，滿足條件的切線有2條，當，即時，滿足條件的切線有1條，當，即時，滿足條件的切線不存在．      （Ⅲ）且．  

【解析】（I）根據f(0)=2,建立關于c,d的方程，求出c,d的值.

（II）本小題的實質是判定方程根的個數.然后利用二次函數的圖像及性質借助判別式解決即可.

(III)先求f(x)在[1,2]上最小值，然后再求出在[0,1]上的最小值，那么本小題就轉化為

（Ⅰ），                  ……………1分

根據題意得解得．                 ……………2分

經檢驗在處取到極值2．∴.   ……3分

（Ⅱ）即，，… 5分

當，即或時，滿足條件的切線有2條，

當，即時，滿足條件的切線有1條，

當，即時，滿足條件的切線不存在．        ……………8分

（Ⅲ）根據題意可知，                  ……………9分

令，得，當時，；當時，，

所以函數的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，

故函數在處取得最小值．………11分

在恒成立，

即在恒成立.設，，由得，由得.∴函數在單調遞增，在單調遞減，∴函數，∴且．