Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx，（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{x}{2}}$+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]最小值為0，求m的值；
（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可知f（-x）=f（x），然后化簡可得2k+1=0，可求出k的值；
（2）轉化為含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題求解；
（3）令y=log₄（4^x+1）-x，由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正，當a＞0時，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零點，當a≤0時，y=log₄（4^x+1）-x-b沒有零點．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-$\frac{1}{2}$
（2）由題意函數(shù)h（x）=4^f（x）+x+m•2^x-1=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，則y=t²+mt，t∈[1，3]，
∵函數(shù)y=t²+mt的圖象開口向上，對稱軸為直線t=-$\frac{m}{2}$故
當-$\frac{m}{2}$≤1，即m≥-2時，當t=1時，函數(shù)取最小值m+1=0，解得：m=-1，
當1＜-$\frac{m}{2}$＜3，即-6＜m＜-2時，當t=-$\frac{m}{2}$時，函數(shù)取最小值$\frac{{m}^{2}}{4}$-=0，解得：m=0（舍去），
當$-\frac{m}{2}$≥3，即m≤-6時，當t=3時，函數(shù)取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
綜上所述，存在m=-1滿足條件
（3）證明：由（1）得f（x）=log₄（4^x+1），函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點
即方程log₄（4^x+1）-x=a無解，
令y=log₄（4^x+1）-x${log}_{4}^{（1+\frac{1}{{4}^{x}}）}$，
由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正
故當a＞0時，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的角點，此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線 當a≤0，y=log₄（4^x+1）-x-b沒有零點，
此時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點，a的取值范圍為a≤0

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)零點的判定定理，屬于中檔題．