已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，任意的0＜a＜b，．
【答案】分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，可先求出，再解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定出函數(shù)的最大值，令最大值小于等于0，即可得到關(guān)于m的不等式，解出m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，任意的0＜a＜b，可先代入函數(shù)的解析式，得出再由0＜a＜b得出，代入即可證明出不等式．
解答：解：（Ⅰ）
當m≤0時，f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…2分
當m＞0時，由
則，則f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當m≤0時顯然不成立；
當m＞0時，只需m-lnm-1≤0即 ….6分
令g（x）=x-lnx-1，
則，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴g（x）min=g（1）=0．則若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分
（Ⅲ）
由0＜a＜b得，
由（Ⅱ）得：，則，
則原不等式成立．…12分
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究函數(shù)的最值，及不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化的思想及推理判斷的能力，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是準確理解題意，對問題進行正確轉(zhuǎn)化，熟練掌握導(dǎo)數(shù)運算性質(zhì)是解題的重點，正確轉(zhuǎn)化問題是解題的難點．
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（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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