Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|-|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≤-

1

2

；
（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得不等式f（x）≥a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)分區(qū)間，討論當(dāng)x≥3時(shí)，當(dāng)x≤2時(shí)，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，化簡(jiǎn)不等式解得，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個(gè)存在性的問(wèn)題，須求出不等式左邊的最大值，可運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得最大值，再令其大于等于a，即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-3|-|x-2|，
當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）≤-

1

2

，即為（x-3）-（x-2）≤-

1

2

，即-1≤-

1

2

成立，則有x≥3；
當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）≤-

1

2

即為（3-x）-（2-x）≤-

1

2

，即1≤-

1

2

，解得x∈∅；
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f（x）≤-

1

2

即為3-x-（x-2）≤-

1

2

，解得，x≥

11

4

，則有

11

4

≤x＜3．
則原不等式的解集為[

11

4

，3）∪[3，+∞）即為[

11

4

，+∞）；
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得||x-3|-|x-a||≤|（x-3）-（x-a）|=|a-3|，
即有f（x）的最大值為|a-3|．
若存在實(shí)數(shù)x，使得不等式f（x）≥a成立，則有|a-3|≥a，
即

a≥3 a-3≥a

或

a＜3 3-a≥a

，即有a≥3或a≤

3

2

．
則a的取值范圍是（-∞，

3

2

]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式，求解本題的關(guān)鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問(wèn)題與恒成立問(wèn)題的區(qū)別，本題是一個(gè)存在問(wèn)題，解決的是有的問(wèn)題，故取|a-3|≥a，即小于等于左邊的最大值即滿足題意，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，主要錯(cuò)誤就是出在把存在問(wèn)題當(dāng)成恒成立問(wèn)題求解，因思維錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)誤．