Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-blnx在點（1，f（1））處的切線為y=1．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，當x∈（0，1]時，函數(shù)g（x）=f（x）-x²+m（x-1）的最小值為0，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若0＜x₁＜x₂，求證：

x2-x1

lnx2-lnx1

＜2x₂．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f（1）=1且f′（1）=0聯(lián)立求得a，b的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）-x²+m（x-1），求其導函數(shù)，然后對m分類分析導函數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值．特別當m＞2時，g（x）在(0，

2

m

)上單調(diào)遞減，在(

2

m

，1]上單調(diào)遞增，求出g（x）的最小值小于0．則m的取值范圍可求；
（Ⅲ）由（II）知，m=1時，g（x）=x-1-2lnx在（0，1）上單調(diào)遞減，得到x-1＞2lnx，由0＜x₁＜x₂得到
0＜

x1

x2

＜1，代入x-1＞2lnx證得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²-blnx，得：
 f′(x)=2ax-

b

x

，(x＞0)，
∵函數(shù)f（x）=ax²-blnx在點（1，f（1））處的切線為y=1，
∴

f(1)=a=1 f′(1)=2a-b=0

，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x²-2lnx，
∴g（x）=f（x）-x²+m（x-1）=m（x-1）-2lnx，x∈（0，1]，
∴g′(x)=m-

2

x

=

mx-2

x

，
①當m≤0時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=0．
②當0＜m≤2時，g′(x)=

m(x- 2 m )

x

≤0，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=0．
③當m＞2時，g′（x）＜0在(0，

2

m

)上恒成立，g′（x）＞0在(

2

m

，1]上恒成立，
∴g（x）在(0，

2

m

)上單調(diào)遞減，在(

2

m

，1]上單調(diào)遞增．
∴g(

2

m

)＜g(1)=0，
∴g（x）_min≠0．
綜上所述，存在m滿足題意，其范圍為（-∞，2]；
（III）證明：由（II）知，m=1時，g（x）=x-1-2lnx在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴x∈（0，1）時，g（x）＞g（1）=0，
即x-1＞2lnx．
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜

x1

x2

＜1，
∴

x1

x2

-1＞2ln

x1

x2

，
∴

x1-x2

x2

＞2(lnx1-lnx2)，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴

x2-x1

lnx2-lnx1

＜2x2．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程；考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基本知識；考查運算求解能力、推理論證能力；考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程的思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．是高考試卷中的壓軸題．