Question

【題目】已知函數(shù)，直線．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）試確定曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析.

【解析】

（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值；

（2）令，利用參變量分離法得出，令，設(shè)，分析函數(shù)的單調(diào)性，從而確定在不同取值下兩曲線交點(diǎn)的個數(shù).

（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)得，令，解得．

列表如下：

			極小值

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，

所以函數(shù)有極小值，無極大值；

（2）“曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)”等價(jià)于“方程的根的個數(shù)”，由方程，得．

令，則，其中，且，

考查函數(shù)，其中，

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

而方程中，且，

所以當(dāng)時，方程無根；

當(dāng)時，方程有且僅有一根，

綜上所述，當(dāng)時，曲線與直線沒有交點(diǎn)；

當(dāng)時，曲線與直線有且僅有一個交點(diǎn)．