Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出2個平面的法向量的坐標(biāo)，設(shè)二面角的大小為θ，顯然θ為銳角，
設(shè)2個法向量的夾角φ，利用2個向量的數(shù)量積可求cosφ，則由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．

解答：解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．則A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，0，2），C₁（0，2，2），
設(shè)AC的中點為M，
∵BM⊥AC，BM⊥CC₁．
∴BM⊥平面A₁C₁C，
即

BM

=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一個法向量．
設(shè)平面A₁B₁C的一個法向量是n=（x，y，z）．

A1C

=（-2，2，-2），

A1 B1

=（-2，0，0），
∴

n• A1B1 =-2x=0 n• A1C1 =-2x+2y-2z=0

令z=1，解得x=0，y=1．
∴n=（0，1，1），
設(shè)法向量n與

BM

的夾角為φ，二面角B₁-A₁C-C₁的大小為θ，顯然θ為銳角．
∵cosθ=|cosφ|=

|n• BM |

|n|•| BM |

=

1

2

，解得：θ=

π

3

．
∴二面角B₁-A₁C-C₁的大小為

π

3

．

點評：本題考查利用向量求二面角的大小為的方法，設(shè)二面角的大小為θ，2個平面法向量的夾角φ，則θ和φ 相等或互補，這兩個角的余弦值相等或相反．